09 May, 2008

Назад к основам

Как известно, уравнение Шрёдингера описывает плавное изменение, или эволюцию, волновой функции со временем. Однако коллапс волновой функции, происходящий в результате измерения (Йохан фон Нойман называл это редукцией волнового пакета) уравнению Шрёдингера не подчиняется. В кратце, если состояние частицы описывается суперпозицией стостояний |1> и |2>:
то при измерении мы всегда получим либо |1>, либо |2> - то есть волновая функция "схлопывается" до одного состояния.

Оказвается, некоторое время назад были попытки как-то феноменологически видоизменить уравнение Шрёдингера, чтобы оно учитывало коллапс волновой функции, см. например работу S.L. Adler "Weisskopf-Wigner decay theory for the energy-driven stochastic Schrödinger equation", Phys. Rev. D 67, 025007 (2003).

Однако экспериментальное наблюдение квантового эффекта Зенона существенно ограничивает спекулятивные попытки дописать в уравнение Шрёдингера дополнительные члены, учитывающие коллапс.

Вкратце, эффект Зенона заключается в том, что если постоянно наблюдать за нестабильной частицей (скажем, ядром, которое может испустить электрон) - она не распадется. Здесь нет никакой магии: рассмотрим записанную выше суперпозицию состояний, где |1> - состояние частицы внутри ядра, |2> - вне его. Считаем, что в начальный момент времени частица находится чисто в состоянии |1>. Дальше, со временем система эволюционирует и при измерении мы обнаружим частицу либо в состоянии |1>, либо в состоянии |2>. То есть, если детектор не регистрирует вылетевшей частицы - это автоматически означает, что волновая функция снова схлопнулась до состояния |1> и все начинается сначала. Если производить измерения достаточно часто, то система просто будет не успевать эволюционировать, и мы будем постоянно схлопывать волновую функцию частицы, "запирая" ее внутри ядра. Если измерение непрерывное, то ядро вообще никогда не распадется.
Также существенен тот факт, что в начале распада вероятность обнаружить систему в состоянии |2> растет медленно, пропорционально квадрату времени - системе еще труднее успеть эволюционировать до того, как очередное измерение схлопнет волновую функцию.

Указанные выше эксперименты проводились не с ядрами, а с возбужденными состояниями атомов, см. работы Itano et al. Phys. Rev. A 41, 2295 - 2300 (1990) и Streed et al. Phys. Rev. Lett. 97, 260402 (2006). Более того, было показано, что наблюдение эффекта Зенона в радиоактивных распадах принципиально невозможно. Однако это очень простой, наглядный и теоретически корректный пример.

Прошу прощения, если этот пост получился несколько сумбурным - возможно, как-нибудь я напишу об эффекте Зенона (и об анти-эффекте Зенона!) подробнее...

5 comments:

vayun said...

Миша, пилят, пользуй кат!

Igor Ivanov said...

Я бы уточнил, что тот факт, что вероятность ухода системы из начального состояния пропорциональна квадрату времени, не просто "также существенен", а абсолютно необходим для эффекта Зенона. Если вы возьмете "для простоты" экспоненциальный распад начального состояния (казалось бы, метастабильные состояния всегда распадаются по экспоненциальному закону? ;-) ), то никакого эффекта Зенона не получите даже при сколь угодно быстром повторении наблюдений.

Если копнуть глубже, то этот вывод опирается на то, что свободная эволюция не имеет точек неаналитичности.

Lemeshko said...

Игорь, спасибо большое за комментарий. Согласен, что недопонял этот момент. Буду очень рад, если подкинете ссылку о связи аналитичности свободной эволюции и эффекта Зенона. Спасибо!

Igor Ivanov said...

Я сходу ссылку не знаю, но это несложная вещь.

Во-первых, Вы можете вначале взять чисто экспоненциальный распад и прямым вычислением убедиться, что при это эффекта Зенона не возникает.

Далее, то же самое (отсутствие Зенона) происходит не только при экспоненциальном распаде, но и при любой эволюции, в которой проекция ψ(t) на ψ(0) зависит от t линейно при малых t. Но это означает, что проекция на какое-то другое состояние должна при малых t зависеть как корень из t -- ведь в единицу должны складываться вероятности, т.е. квадраты проекций. Ну а корень из t -- это сингулярное поведение, т.к. скорость изменения состояния стремится к бесконечности вблизи t=0. Т.е. получается неаналитическая эволюция при t=0. Поскольку по УШ скорость изменения определяется гамильтонианом, получается в момент t=0 у гамильтониана какая-то неаналитическая бяка в этой точке.

Развернув аргументацию, если у гамильтониана никаких бяк нет, т.е. эволюция системы в пространстве векторов состояния аналитично зависит от времени, то проекция на ψ(t) любые состояния, ортогональные начальному, как минимум линейная функция, т.е. уменьшение вероятности найти ψ(t) в исходном состоянии уменьшается квадратично. Это и дает Зенона.

Lemeshko said...

Спасибо, Игорь. Теперь стало намного понятнее.