Сегодня наткнулся на любопытную прошлогоднюю статью
Carl M Bender, Making sense of non-Hermitian Hamiltonians, Rep. Prog. Phys. 70, 947 (2007).
В ней автор задается вопросом - является ли необходимым условием при построении квантовой механики эрмитовость гамильтониана? Бендер предлагает взамен эрмитовости ввести другое условие, симметрию относительно отражения пространства-времени (PT-symmetry). Если гамильтониан PT-симметричен, его собственные значения будут действительны. Это работает, если PT-симметрия гамильтониана не нарушается, то есть собственные значения H являются собственными значениями оператора PT. В качестве примеров приводятся такие неэрмитовые гамильтонианы, как, например, H=p^2+ix^3 или H=p^2-x^4, собственные значения которых действительны и положительны. Действительность собственных значений не является достаточным условием для постоения теории, нужно еще добиться положительной нормы векторов и унитарности оператора эволюции. Автор показывает, что все это можно сделать, работая с PT-инвариантными гамальтонианами.
В общем, предлагается строить квантовую механику, опираясь именно на PT-инвариантность в качестве одной из аксиом, вместо "математического" требования эрмитовости.
P.S. На самом деле, данная статья - обзор того, что сделано за последние 10 лет, и автор в ней уже ничего не "предлагает". :) Но, поскольку основные результаты и были получены Карлом Бендером, то я позволил себе написать так, как будто действие происходит в реальном времени.
3 comments:
Я когда-то тоже с удивлением наткнулся на эту теорию и кое-что про нее написал. А вообще в последнее время я видел статьи на эту тему не только Бендера, но и других людей. Правда, большой вопрос в этой области -- это просто игра воображения или где-то применима в реальном мире.
Спасибо за ссылку, заодно развлекся комментариями знатоков на элементах. :) На самом деле, работу Faster than Hermitian Quantum Mechanics я раньше видел, еще в архиве, но что-то не вник в нее тогда. Сейчас, благодаря двум обзорам (тому, про который пост, и более раннему, Contemp. Physics 46, 277 (2005)), в голове складывается более-менее понятная картина.
Насчет применимости, мне кажется, что могут быть какие-то выходы в виде новых точно решаемых потенциалов, которые будут работать как приближения к реальным задачам.
Ну не знаю, например, в одной из последних работ Bender исследует изоспектральные пары потенциалов - один PT-инвариантный, другой эрмитов. В принципе возможна гипотетическая ситуация, когда нужно найти собственные значения эрмитового оператора, а сделать это по каким-то причинам сложно. А для его неэрмитового партнера задача решается просто. Тогда можно облегчить себе жизнь.
Это похоже на то, как методы суперсимметрии в КМ позволяют точно решить ряд задач, и претендуют на то, что будут полезны для народного хозяйства, например, в описании молекулярных потенциалов.
Но проблема в том, что пока только претендуют. :)
Хм, ну может быть. Лишняя степень свободы, конечно, никогда не помешает. В конце концов, использование комплексной плоскости позволяет вычислять интегралы и вдоль вещественной оси.
Post a Comment